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均值回归 Regression to the Mean
极端之后是平均，别把回归当效果
弗朗西斯·高尔顿（发现者，1886 年用 928 名子女的身高数据提出“回归向平庸”） · 丹尼尔·卡尼曼（普及者，用以色列空军教官案例解释奖惩错觉，《思考，快与慢》第 17 章）
场景钩子 · 骂人的教官比夸人的更管用？
卡尼曼在给以色列空军的飞行教官讲课时说，行为心理学研究表明奖励比惩罚更能塑造行为。一名资深教官当场反驳：学员做出一次特别漂亮的飞行动作时，他当面夸奖，下一次动作往往变差；学员动作特别糟糕时他大声训斥，下一次往往就变好。所以骂比夸管用。卡尼曼当场意识到，教官看到的是回归：一次极端的好或坏，本来就大概率跟着一次更普通的发挥，跟夸还是骂没有关系。但这个错觉太顺手了，它让惩罚显得有效，让表扬显得多余。多年后他把这个故事写进《思考，快与慢》第 17 章，作为“归因压倒统计”的经典案例。
原理图
运气不重复，能力才重复。极端表现里掺的运气越多，下一轮落回平均的幅度就越大。
数据证据 · 高尔顿的身高数据：子代偏离比父代小 可靠二手
高个父母的孩子平均仍偏高，但更接近人群平均，矮个家庭同理。子女的身高偏离约为父母偏离的三分之二。
来源：Francis Galton, Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature (1886)，928 名成年子女观测，回归系数 2/3；图中为该系数的示意换算
交互演示 · 选出表现最极端的人，然后看下一轮
运气占比越高，被选中者下一轮跌得越狠。教练以为是惩罚见效，其实只是回归。
怎么用
- 先确认你手里的是不是极端组只要样本是按表现挑出来的前几名或后几名，回归就已经在路上了。
- 估一估这个指标里运气占多少单次表现、小样本、高淘汰率的场景，运气占比高，回归幅度大。
- 预测下一轮时向平均收缩别把极端值线性外推，用“真实水平加运气”的框架估算回落幅度。
- 归因前先设对照组想证明奖惩或干预有效，必须比较处理组与未处理组的平均变化，只看被处理者会自动看到“好转”。
- 警惕把回归写成规律的研究1933 年塞克里斯特出版《平庸的胜利》，用大量数据论证企业利润趋向平庸，被统计学家霍特林指出那只是回归，不是经济规律。
失效边界
| 情境 | 模型的说法 | 现实 |
|---|---|---|
| 真实水平确实变了，比如伤愈复出或技能提升 | 好转只是回归平均，不必归因 | 回归和真实变化会叠加，单看平均数无法区分，没有对照组就会漏掉真改进。 |
| 极端表现主要靠稳定实力，运气占比很低 | 下一轮会大幅回落 | 回归幅度很小，此时预测回落反而错得离谱。 |
| 用群体规律预测具体个人 | 每个人都会向平均回归 | 回归只对群体期望成立，个体完全可能更极端，用它劝人“别得意”没有统计依据。 |
| 度量有天花板或地板，比如考试满分 | 高低两端对称回归 | 天花板会截断分布，让高分端被压平，回归看起来不对称。 |
关联模型
出处
- Francis Galton, Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature (1886) 可靠二手
- Daniel Kahneman, Thinking, Fast and Slow, 第 17 章（2011） 可靠二手
- Kahneman & Tversky, On the Psychology of Prediction (1973) 可靠二手
- Harold Hotelling 对 Secrist《平庸的胜利》的书评（1933） 可靠二手
