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期望值思维 Expected Value

别问会不会赢，问平均能赢多少

布莱兹·帕斯卡（1654 年与费马通信解决分赌注问题，概率论的共同奠基人） · 皮埃尔·德·费马（在图卢兹用组合计数独立解出同一问题，确立了按概率加权的算法） · 爱德华·索普（把期望值搬上赌桌和交易台，1962 年出版《击败庄家》）

场景钩子 · 赌局中断，赌金该按什么比例分

1654 年，法国赌徒德·梅雷拿一个分赌注问题去请教数学家帕斯卡：两人对赌，约定先赢三局的人拿走全部赌金，现在比分为一比一，赌局因故中断，赌金该怎么分？按已赢局数对半分显然不对，因为双方最终赢下的机会并不均等。帕斯卡写信给远在图卢兹的律师费马，几个月里两人通了七封信，各自用不同的路径算出同一个答案：应该按双方最终获胜的概率加权分配。比如先赢三局制下二比一领先的一方，理应拿走四分之三的赌金。这组通信被后世视为概率论的起点，也留下了期望值思维的雏形：评价一个不确定的前景，不要盯着单次输赢，要把每种结果乘以它的概率，再加总起来看。

原理图

第四步的加总是核心：单次结果由运气说了算，期望值才是长期平均。但最后一步同样重要，期望为正只是入场券，还得保证自己活到平均值兑现的那一天。

数据证据 · 常见赌局：每投注 1 单位的期望收益 可靠二手

赌场不靠单次输赢赚钱，靠的是把每一注的期望压成负数。索普证明反过来同样成立：找到期望为正的赌局，重复下注，优势自己会兑现。
来源：轮盘与21点的期望值来自标准赔率的数学计算；算牌优势约 1% 出自索普《击败庄家》（1962）

交互演示 · 胜率九成，什么时候仍然是亏的

胜率九成、赢一次赚 1 时，输一次亏超过 9，期望就转负；胜率降到五成，亏超过 1 就转负。拖动胜率滑块，看盈亏平衡点怎么移动。

怎么用

  1. 把不确定的事拆成有限几种结果比如投资分为大涨、小涨、持平、亏损几档，不要只写最可能的那一种。
  2. 给每种结果估一个概率优先用历史频率和基础比率，没有数据时用校准过的直觉，并写下估计依据。
  3. 给每种结果标上损益金额收益记正数，损失记负数，别忘了时间成本、税费这些隐性项。
  4. 概率乘损益，加总得到期望值再和替代选项比较，包括什么都不做的期望值。
  5. 下注前先做破产检查问最坏结果能否承受，重复多少次会撞上它，期望为正也可能中途出局。

失效边界

情境模型的说法现实
只发生一次的重大决策，比如创业或举家搬迁期望为正就该干大数定律需要足够多的重复次数，一辈子只发生一次的事，平均值兑现不了。
最坏结果是毁灭性的，比如押上全部身家期望为正就是好赌局一次破产就永久出局，下注规模必须留余地，这正是凯利公式要解决的问题。
概率本身估不准，比如全新市场或极端行情按估出的概率加权就行尾部概率常被低估几个数量级，输入错了，加总再精确也是垃圾进垃圾出。
重复次数太少，或者中途被迫撤出长期平均终会兑现短期方差远大于期望，正期望策略也可能连亏数年，拿不住就等于负期望。

关联模型

出处